- 积分学
- 不定积分
- 定积分
1 ）矩形和梯形
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- 矩形面积：$S = ah$
- 梯形面积：$S = \frac{h}{2}(a+b)$
2 ) 曲边梯形的面积
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- 设曲边梯形是由连续曲线
$y = f(x) (f(x) \geq 0$ 及x轴，以及两直线$x=a, x=b$ 所围成，求其面积A - 解决步骤
- (1) 大化小. 在区间[a,b]中任意插入n-1个分点$a=x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = b$, 用直线
$x=x_i$ 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 - (2) 常代变. 在第i个窄曲边梯形上任取$\xi \in [x_{i-1}, x_i]$作以$[x_{i-1}, x_i]$为底,
$f(\xi)$ 为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积$\triangle A_i$, 得$\triangle A_i \approx f(\xi_i) \triangle x_i (\triangle x_i = x_1 - x_{i-1}, i=1,2,...,n)$
- (3) 近似和.
$A = \sum_{i=1}^n \triangle A_i \approx \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i$ - (4) 取极限. 令
$\lambda = max_{1\leq i\leq n} { \triangle x_i }$ , 则曲边梯形面积为$A = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n \triangle A_i = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i$
- (1) 大化小. 在区间[a,b]中任意插入n-1个分点$a=x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = b$, 用直线
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3 ) 变速直线运动的路程
- 设某物体作直线运动，已知速度$v=v(t) \in C[T_1, T_2]$, 且
$v(t) \geq 0$ , 求在运动时间内物体所经过的路程s - 解决步骤
- (1) 大化小. 在$[T_1, T_2]$中任意插入n-1个分点，将它分成n个小段$t_{i-1}, t_i
$, 在每个小段上物体经过的路程为: $ \triangle s_i \ \ \ (i = 1,2,...,n)$ - (2) 常代变. 任取$\xi_i \in [t_{i-1}, t_i]$, 以$v(\xi_i)$ 代替变速, 得
$\triangle s_i \approx v(\xi_i) \triangle t_i \ \ \ (i=1,2,...,n)$ - (3) 近似和.
$s \approx \sum_{i=1}^n v(\xi_i) \triangle t_i$ - (4) 取极限.
$s = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n v(\xi_i) \triangle t_i \ \ \ (\lambda = max_{1 \geq i \geq n} \triangle t_i)$
- (1) 大化小. 在$[T_1, T_2]$中任意插入n-1个分点，将它分成n个小段$t_{i-1}, t_i
4 ) 总结
- 上述两个问题的共性：
- 解决问题的方法步骤相同："大化小, 常代变, 近似和, 取极限"
- 所求量极限结构式相同：特殊乘积和式的极限
1 ) 概念
- 设函数f(x)定义在[a,b]上，若对[a,b]的任一种分法$a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = b$
- 令$\triangle x_i = x_i - x_{i-1}$, 任取
$\xi_i \in [x_i, x_{i-1}]$ - 只要
$\lambda = max_{1 \leq i \leq n} { \triangle x_i } \to 0$ 时，$\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i$ 总趋于确定的极限I - 则称此极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为：$\int_a^b f(x) dx$, 即：$\int_a^b f(x)dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i$
- 此时称 f(x) 在[a,b]上可积
- 可以看到积分是微分的逆运算
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2 ） 各部分结构
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- 定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关，即
$\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt = \int_a^b f(u) du$
3 ) 定积分的几何意义
-
$f(x) > 0, \int_a^b f(x) dx = A$ 曲边梯形面积 -
$f(x) < 0, \int_a^b f(x) dx = -A$ 曲边梯形面积的负值
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$\int_a^b f(x) dx = A_1 - A_2 + A_3 - A_4 + A_5$
4 ）可积的充分条件
- 定理1：函数f(x)在[a,b]上连续
$\Rightarrow$ f(x) 在[a,b]上可积. - 定理2：函数f(x)在[a,b]上有界, 且只有有限个间断点
$\Rightarrow$ f(x)在[a,b]上可积
5 ） 案例
例1：利用定义计算定积分
分析：
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- 将[0,1] n等分，分点为：$x_i = \frac{i}{n} (i=0,1,...,n)$, 取$\xi_i = \frac{i}{n}, \triangle x_i = \frac{1}{n} \ \ \ (i=1,2,...,n)$
- 则
$f(\xi_i) \triangle x_i = \xi_i^2 \triangle x_i = \frac{i^2}{n^3}$ $\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{n^3} · \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) = \frac{1}{6}(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})$ - 所以,
$\int_0^1 x^2 dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n \xi^2 \triangle x_i = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6}(1 + \frac{1}{n})(2+\frac{1}{n}) = \frac{1}{3}$
注解：
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例2：用定积分表示下列极限
(1)
(2)
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说明
- 设$f(x) \in C[a,b]$, 则
$\int_a^b f(x) dx$ 存在，根据定积分定义可得如下近似计算方法 - 将[a,b]分成n等份：$\triangle x = \frac{b-a}{n}, x_i = a + i·\triangle x \ \ \ (i = 0,1,...,n)$
- 记：$f(x_i) = y_i \ \ \ (i = 0, 1, ..., n)$
- (1) 左矩形公式：
$\int_a^b f(x) dx \approx y_0 \triangle x + y_1 \triangle x + ... + y_{n-1} \triangle x = \frac{b-a}{n}(y_0 + y_1 + ... + y_{n-1})$ - (2) 右矩形公式：
$\int_a^b f(x)dx \approx y_1 \triangle x + y_2 \triangle x + ... + y_n \triangle x = \frac{b-a}{n}(y_1 + y_2 + ... + y_n)$ - (3) 梯形公式：$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} [y_{i-1} + y_i] \triangle x = \frac{b - a}{n} [\frac{1}{2}(y_0 + y_n) + (y_1 + ... + y_{n-1})]$
- 梯形公式 = 左矩形公式+右矩形公式之和的一半
- 为了提高精度，还可建立更好的求积公式，例如辛普森公式，复化求积公式等