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Les formules

  • logic linéaire intuitionniste
  • connecteurs ⅋, ⊥ et ? retirés
Inductive formula : Type := 
| Proposition : Vars.t -> formula (* atomic proposition *)
| Implies : formula -> formula -> formula 
| Otimes : formula -> formula -> formula 
| Oplus : formula -> formula -> formula 
| One : formula 
| Zero : formula 
| Bang : formula -> formula
| And : formula -> formula  -> formula 
| Top : formula.

Declare Scope ILL_scope.
Notation "A ⊸ B" := (Implies A B) : ILL_scope.
Notation  "A ⊕ B" := (Oplus A B) : ILL_scope.
Notation  "A ⊗ B" := (Otimes A B) : ILL_scope.
Notation "1" := One : ILL_scope.
Notation "0" := Zero : ILL_scope.
Notation  "! A" := (Bang A) : ILL_scope.
Notation  "A & B" := (And A B) : ILL_scope.
Notation  "⊤" := Top : ILL_scope.

En position “Hypothèse/ressource”:

  • φ1 ⊕ φ2 = la preuve doit fournir deux preuves
    • chaque preuve consomme une seule des deux

    = choix externe (ex: choix du joueur)

  • φ1 & φ2 = la preuve garantit qu’un seul des deux sera consommé choix narratif (i.e. interne), quelle preuve? quels branchements possibles?
  • φ1 ⊸ φ2 = on peut produire la ressource φ2 en consommant φ1
  • φ1 ⊗ φ2 = une preuve consomme les deux.

Comment exprimer que φ1 et φ2 sont un choix externe ou interne en fonction du déroulment? Réponse: on garde ceci (φ1 ⊕ φ2) & (φ1 & φ2) jusqu’à ce qu’on décide si c’est interne ou externe.

En position “Conclusion”

  • φ1 ⊗ φ2 = consommer φ1 ou φ2 consomme les deux (ex: ).
  • φ1 ⊕ φ2 =

Les sous-ensemble des formules considérés

Le séquent inital doit avoir la forme:

Res,Act ⊢ Goal

où Res contient les ressources et les conditions initales, et Act les actions narratives possibles.

plus précisément:

Res ::= 1 | atom | Res & Res | Res ⊗ Res | ! Res Act ::= 1 | CRes ⊸ Context | Act ⊕ Act | Act & Act | !Act Goal ::= 1 | atom | Goal ⊗ Goal | Goal ⊕ Goal | Goal & Goal CRes ::= 1 | atom | CRes ⊗ CRes Context ::= Res | Act | Context ⊗ Context

En Coq

Inductive Act : formula -> Prop := (* Act *)
| A1: Act 1
| A2:∀ φ₁ φ₂, Cres φ₁ → Context φ₂ → Act (φ₁ ⊸ φ₂)
| A3: ∀ φ₁ φ₂, Act φ₁ → Act φ₂ → Act (φ₁ ⊕ φ₂)
| A4: ∀ φ₁ φ₂, Act φ₁ → Act φ₂ → Act (φ₁ & φ₂)
| A5: ∀ φ, Act φ → Act (! φ)
with Cres: formula -> Prop:= (* CRes *)
| Cres1: Cres 1
| Cres2: ∀ n, Cres (Proposition n)
| Cres3: ∀ φ₁ φ₂, Cres φ₁ → Cres φ₂ → Cres (φ₁ ⊗ φ₂)
with Context: formula -> Prop:= (* Context *)
| Context1:∀ φ, Act φ → Context φ
| Context2:∀ φ, Res φ → Context φ
| Context3: ∀ φ₁ φ₂, Context φ₁ → Context φ₂ → Context (φ₁ ⊗ φ₂)
with Res: formula -> Prop:= (* Res *)I
  R1: Res 1
| R2: ∀ n, Res (Proposition n)
| R3: ∀ φ, Res φ → Res (!φ)
| R4: ∀ φ₁ φ₂, Res φ₁ → Res φ₂ → Res (φ₁ ⊗ φ₂)
| R5: ∀ φ₁ φ₂, Res φ₁ → Res φ₂ → Res (φ₁ & φ₂).

Exemple dans Emma Bovary:

Goal = A ⊕ D Emma survit (Alive) ou bien Emma meurt (Dead).

Res = R, G, B & 1, P & 1

Signifie que

  • R (discution avec Rodolphe) et
  • G (avec Guillaumin)

doivent être “consommées” par l’histoire (la preuve), alors que

  • P (ingérer le poison) et
  • B (discussion avec Binet)

sont des ressources optionnelle.

Act = (S ⊸ A), Emma se vend pour se sauver (E ⊸ A) & 1, choix narratif: Emma s’enfuit avec Rodolphe (P ⊸ D) & 1, choix narratif: Emma boit le poison (et meurt), ou pas. (G ⊸ 1) ⊕ (G ⊸ S) conversation avec Guillaumin obligatoire mais issue dépend du choix (externe) d’Emma de se vendre ou pas. (R ⊸ 1) & (R ⊸ E), conv. avec Rodolphe obligatoire, issue = choix narratif. 1 ⊕ ((B ⊸ S) & (B ⊸ 1)) conv. avec Binet optionnelle (choix externe). si oui: issue = choix narratif.

Définition des preuves

  • règles d’inférences définies pour tout ILL
  • jugements Γ ⊢ h: φ représenté par: ” h: Γ ⊢ φ ”

———–Ax φ ⊢ φ

Inductive ILL_proof Γ: formula → Prop :=
    Id : ∀ φ, Γ == {φ}  →  Γ ⊢ φ

Δ ⊢ φ Δ’, ψ ⊢ χ ———————- Impl_L Δ, Δ’, φ ⊸ ψ ⊢ χ

| Impl_L : ∀ Δ Δ' φ ψ r,
   φ ⊸ ψ ∈ Γ  →  Γ \ φ ⊸ ψ == Δ ∪ Δ'  →  Δ ⊢ φ   →   ψ::Δ' ⊢ χ  →  Γ ⊢ χ

note: “::” == multiset.add) note: “" == multiset.remove, retire une occurrence

φ, Γ ⊢ ψ ——————-Impl_R Γ ⊢ φ ⊸ ψ

| Impl_R : ∀ φ ψ, φ::Γ ⊢ ψ  →  Γ ⊢ φ ⊸ ψ

Γ, φ ⊢ χ ———————- And_L_1 Γ, φ & ψ ⊢ χ

| And_L_1 : ∀ φ ψ χ , φ & ψ ∈ Γ  →  φ:: (Γ \ φ & ψ) ⊢ χ  →  Γ ⊢ χ

“Stabilité” du sous-ensemble

  • propriété inductive générique Istable pred h qui signifie: pred est vrai pour tous les sous-arbres (stricts) de la preuve h. Reprends les constructeurs de ILL_proof. 
    Inductive Istable: ∀ {e} {f} (h: e ⊢ f) , Prop := 
| IId: ∀ Γ p heq, Istable (Id Γ p heq)
| IImpl_R: ∀ Γ p q h, pred h  →  Istable h  →  Istable (Impl_R Γ p q h)
| IImpl_L: ∀ Γ Δ Δ' p q r hin heq h h',
    pred h  →  pred h'  →  Istable h  →  Istable h'
    → Istable (Impl_L Γ Δ Δ' p q r hin heq h h')
| ITimes_R: ∀ Γ Δ Δ' p q heq h h',
    pred h  →  pred h'  →  Istable h  →  Istable h'
    → Istable (Times_R Γ Δ Δ' p q heq h h')
...  
    
Inductive Goal : formula → Prop :=
| G1: Goal 1
| G2:  ∀ n, Goal (Proposition n)
| G3: ∀ φ₁ φ₂, Goal φ₁ → Goal φ₂ → Goal (φ₁ ⊗ φ₂)
| G4: ∀ φ₁ φ₂, Goal φ₁ → Goal φ₂ → Goal (φ₁ ⊕ φ₂)
| G5: ∀ φ₁ φ₂, Goal φ₁ → Goal φ₂ → Goal (φ₁ & φ₂).

(** Contextall Γ f h means: all formulas of a Γ are in Context and f is in Goal. *)
Definition Contextall Γ f (_:Γ⊢f):Prop := Goal f /\ ∀g:formula, g ∈ Γ  → Context g.

Lemma Grammar_Stable : ∀ Γ φ (h:Γ ⊢ φ), Contextall h → Istable Contextall h.