content/ex1/ex1-ko.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 연습문제 1 - Toffoli gate\n",
    "\n",
    "## 역사적 배경\n",
    "\n",
    "\n",
    "40년 전, 50명의 연구자들로 자유롭게 구성된 그룹이 MIT의 Endicott House의 잔디밭에서 사진을 찍기 위해 모였습니다. 1981년에 MIT와 IBM이 공동으로 주관했던 계산 물리학 컨퍼런스에 모였던 어떤 누구도 본인들이 역사를 만들고 있다는 것을 깨닫지 못했습니다. 하지만 이 모임에서 근래 관심을 끌기 시작한 양자컴퓨팅을 포함한 계산 물리학이 태동되었으며, 교과서나 대학 과정에 적합한 심도있는 주제들이 논의되었습니다.\n",
    "\n",
    "\n",
    "파인만은 이 컨퍼런스에서 \"자연은 고전적이지 않기때문에 자연을 모사하기 위해서 양자역학적으로 구현된 것이 필요할것입니다. 이것은 매우 쉽지 않은 주제가 될것이지만 그래서 더 멋진 문제라고생각합니다\"라고 말했습니다.[1] 이달 초에, 우리는 이 중요한 컨퍼런스의 40주년을 기념했습니다. [여기](https://youtu.be/GR6ANm6Z0yk)에서 기념행사의 내용들을 확인해 보십시오.\n",
    "\n",
    "\n",
    "![](resources/conference-photo.jpeg)\n",
    "\n",
    "\n",
    "컨퍼런스에서 논의 된 주제 중 하나는 MIT의 Tommaso Toffoli와 Edward Fredkil이 지난 몇 년 동안 연구해왔던 가역 컴퓨팅이었습니다.[2-3] Toffoli는 AND / NAND 게이트의 가역 버전을 내놓았습니다(이제는 Toffoli 게이트 또는 controlled-controlled-NOT 게이트라 부름). NAND 게이트는 고전 컴퓨팅의 범용 게이트이기 때문에 Toffoli 게이트는 범용 가역 논리 게이트입니다. 양자 컴퓨팅은 가역 컴퓨팅의 특별한 형태이며 모든 가역 게이트는 양자 컴퓨터에서 구현 될 수 있고, 따라서 Toffoli 게이트 역시 양자 논리 게이트입니다. 하지만 Toffoli 게이트가 유일한 양자 컴퓨팅을 위한 범용 게이트는 아닙니다.\n",
    "\n",
    "이 연습에서는 양자 컴퓨터를 위한 Toffoli 게이트와 범용 게이트 세트들을 알아보겠습니다.\n",
    "\n",
    "### 참고자료\n",
    "1. Feynman, Richard P. \"Simulating physics with computers.\" Int. J. Theor. Phys 21.6/7 (1982).\n",
    "1. Toffoli, Tommaso. \"Reversible computing.\" International colloquium on automata, languages, and programming. Springer, Berlin, Heidelberg, 1980.\n",
    "1. Fredkin, Edward, and Tommaso Toffoli. \"Conservative logic.\" International Journal of theoretical physics 21.3 (1982): 219-253."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 고전적 논리 게이트들\n",
    "\n",
    "\n",
    "고전적 계산에서 종종 사용되는 모델은 부울 논리 또는 고전적 논리 게이트입니다. 이러한 게이트는 이진(0 또는 1) 입력 및 출력만 있는 함수인 부울 함수를 나타냅니다. 부울 논리의 한 가지 흥미로운 점은 가능한 모든 이진 함수는 작은 숫자의 서로 다른 논리 게이트의 조합만을 사용하여 만들어 낼 수 있습니다는 것입니다. 이러한 집합을 함수적 완전 집합(Functionally complete sets)이라고 합니다. 잘 알려진 집합으로는 AND와 NOT의 집합있습니다. 이 두 개의 게이트는 가능한 모든 기능을 구현해 냅니다. OR과 NOT도 마찬가지입니다. NAND 및 NOR과 같이 하나만으로도 범용인 더 소수의 집합이 존재하지만, AND, NOT 및 OR 함수는 종종 고전적 계산의 기본 블록으로 불립니다.\n",
    "\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert alert-block alert-success\">\n",
    "\n",
    "**목표**\n",
    "\n",
    "IBM Quantum System의 기저 게이트 조합(basis gate sets)(CX, RZ, SX와 X 게이트)를 사용해서 Toffoli 게이트를 만들어 봅시다.\n",
    "\n",
    "</div>\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert alert-block alert-danger\">\n",
    "    \n",
    "이 연습 문제를 통해서 여러분은 양자 게이트들의 기본적인 개념과 다음의 두가지 방법을 사용해 양자 회로를 구성하는 법을 배우게 됩니다.\n",
    "1. Circuit Composer 위젯을 사용해서 시각적으로 회로를 구성하는 방법\n",
    "1. Qiskit을 사용해서 프로그램 코드를 작성하여 회로를 구성하는 방법\n",
    "\n",
    "양자 게이트와 Qiskit에 익숙하신 분들은 바로 <a href=#problem>문제</a>로 넘어가셔도 좋습니다.\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# 불필요한 경고 제거\n",
    "import warnings\n",
    "from matplotlib.cbook import MatplotlibDeprecationWarning\n",
    "warnings.filterwarnings('ignore', category=MatplotlibDeprecationWarning)\n",
    "\n",
    "# Qiskit 표준 라이브러리 불러오기\n",
    "from qiskit import QuantumCircuit, execute, Aer, IBMQ, QuantumRegister, ClassicalRegister\n",
    "from qiskit.compiler import transpile, assemble\n",
    "from qiskit.tools.jupyter import *\n",
    "from qiskit.visualization import *\n",
    "from ibm_quantum_widgets import *\n",
    "\n",
    "# pi값을 불러오기 위한 라이브러리\n",
    "import math\n",
    "pi=math.pi"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 양자회로란 무엇일까요?\n",
    "\n",
    "양자 회로는 일련의 양자 게이트들을 양자 컴퓨팅 계산에 사용하는 모델입니다. 양자 게이트는 종종 블로흐 구체의 회전(시계 반대방향)으로 표현됩니다. 잘 알려진 양자 게이트 중 몇 가지를 살펴 보겠습니다.\n",
    "\n",
    "### X 게이트 \n",
    "\n",
    "X-게이트는 파울리-X 행렬로 표현됩니다.\n",
    "\n",
    "$X = \\begin{pmatrix}\n",
    "0 & 1 \\\\\n",
    "1 & 0 \\\\\n",
    "\\end{pmatrix}$\n",
    "\n",
    "X 게이트는 블로흐 구체에서 X축으로 $\\pi$ 라디안 만큼의 회전을 의미합니다. 이 게이트는 $|0\\rangle$을 $|1\\rangle$로, $|1\\rangle$을 $|0\\rangle$으로 만들어 줍니다. 고전 컴퓨팅의 NOT게이트의 양자 버젼이며 비트-플립이라 불리기도 합니다."
   ]
  },
  {
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   "execution_count": null,
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   "outputs": [],
   "source": [
    "x_gate=QuantumCircuit(1) # 1큐빗 양자 회로를 생성합니다.\n",
    "x_gate.x(0)\n",
    "x_gate.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": null,
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   "outputs": [],
   "source": [
    "backend = Aer.get_backend('statevector_simulator')\n",
    "result = execute(x_gate, backend).result().get_statevector()\n",
    "plot_bloch_multivector(result)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### SX 게이트\n",
    "\n",
    "\n",
    "SX게이트는 블로흐 구체에서 X축을 기준으로 $\\pi/2$ 라디안 만큼의 회전을 뜻합니다. SX게이트라는 이름은 X게이트의 제곱근(Square-root)라는 뜻입니다. 이 게이트를 두번 적용하면 표준의 파울리-X 게이트를 구현할 수 있습니다. SX 게이트의 정반대는 SX $\\dagger$(대거) 게이트로 반대방향으로 $\\pi/2$ 라디안의 회전을 구현합니다. \n",
    "\n",
    "$SX = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\begin{pmatrix}\n",
    "1+i & 1-i \\\\\n",
    "1-i & 1+i \\\\\n",
    "\\end{pmatrix}$"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": null,
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   "source": [
    "sx_gate = QuantumCircuit(1)\n",
    "sx_gate.sx(0)  \n",
    "sx_gate.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": null,
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   "outputs": [],
   "source": [
    "backend = Aer.get_backend('statevector_simulator')\n",
    "result = execute(sx_gate, backend).result().get_statevector()\n",
    "plot_bloch_multivector(result)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
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   "source": [
    "### RZ 게이트\n",
    "\n",
    "Rz 게이트는 Z축 방향으로 $\\phi$(실수) 만큼의 회전을 의미합니다. 이 게이트의 행렬 표현은 다음과 같습니다.\n",
    "\n",
    "\n",
    "$RZ = \\begin{pmatrix}\n",
    "1 & 0 \\\\\n",
    "0 & e ^{i \\phi } \\\\\n",
    "\\end{pmatrix}$"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": null,
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   "outputs": [],
   "source": [
    "rz_gate = QuantumCircuit(1)\n",
    "rz_gate.rz(pi/2, 0)\n",
    "rz_gate.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "backend = Aer.get_backend('statevector_simulator')\n",
    "result = execute(rz_gate, backend).result().get_statevector()\n",
    "plot_bloch_multivector(result)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Z축 방향의 회전을 기본 상태인 $|0\\rangle$에 적용해도 효과는 눈으로 확인하기 어렵기 때문에 SX 게이트를 기본상태에 적용한 후 RZ 게이트를 적용하여 동작을 확인해 보도록 하겠습니다."
   ]
  },
  {
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   "execution_count": null,
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   "outputs": [],
   "source": [
    "rz_gate.sx(0)\n",
    "rz_gate.rz(pi/2, 0)\n",
    "rz_gate.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "backend = Aer.get_backend('statevector_simulator')\n",
    "result = execute(rz_gate, backend).result().get_statevector()\n",
    "plot_bloch_multivector(result)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### 하다마드 게이트\n",
    "\n",
    "하다마드 게이트는 X축과 Z축의 중간지점을 기준으로 $\\pi$ 만큼의 회전을 의미합니다. 이 게이트는 $|0\\rangle$의 상태를 $\\frac{|0\\rangle + |1\\rangle}{\\sqrt{2}}$로 만들어 주며 이 상태는 `1` 또는 `0`으로 측정될 확률이 동일한 '중첩'의 상태입니다. 이 상태를 $|+\\rangle$라 부르기도합니다. 하다마드 게이트는 $|0\\rangle$ $|1\\rangle$의 베이스와 $|+\\rangle$ $|-\\rangle$ 베이스 사이를 변환하는 기능을 합니다. \n",
    " \n",
    "$H = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\begin{pmatrix}\n",
    "1 & 1 \\\\\n",
    "1 & -1 \\\\\n",
    "\\end{pmatrix}$"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": null,
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   "source": [
    "# |0> 큐비트에 하다마드 게이트 적용\n",
    "h_gate = QuantumCircuit(1)\n",
    "h_gate.h(0)\n",
    "h_gate.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
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   "outputs": [],
   "source": [
    "# 결과 확인\n",
    "backend = Aer.get_backend('statevector_simulator')\n",
    "result = execute(h_gate, backend).result().get_statevector()\n",
    "plot_bloch_multivector(result)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### CX 게이트 (CNOT 게이트)\n",
    "\n",
    "제어 반전(Controlled Not, CNOT 혹은 CX) 게이트는 두 개의 큐비트를 사용해 동작합니다. 이 게이트는 첫번째 큐비트(제어 큐비트)가 $|1\\rangle$일 때, NOT 연산(X 게이트 적용과 동일)을 두 번째 큐비트(대상 큐비트)에 적용하며 그렇지 않은 경우 대상 큐비트는 바뀌지 않습니다. \n",
    "\n",
    "노트: Qiskit는 문자열의 비트에 오른쪽에서 왼쪽으로 번호를 매깁니다.\n",
    "\n",
    "\n",
    "$CX = \\begin{pmatrix}\n",
    "1 & 0 & 0 & 0  \\\\\n",
    "0 & 1 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 0 & 1 \\\\\n",
    "0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n",
    "\\end{pmatrix}$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "cx_gate = QuantumCircuit(2)\n",
    "cx_gate.cx(0,1)\n",
    "cx_gate.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### CCX 게이트 (Toffoli 게이트)\n",
    "\n",
    "CCX 게이트(제어 제어 X 게이트)는 토폴리 게이트라 불립니다. CCX 게이트는 3개의 큐비트를 사용하는 게이트로, 두 개의 제어 큐비트를 입력으로, 한 개의 대상 큐비트를 출력으로 갖습니다. 처음의 두 개의 비트가 모두 $|1\\rangle$ 상태일때 파울리-X(혹은 NOT)  게이트를 세 번째 비트에 적용합니다. 그 외의 상황에서는 어떤 작용도 하지 않습니다.\n",
    "\n",
    "노트: Qiskit는 문자열의 비트에 오른쪽에서 왼쪽으로 번호를 매깁니다.\n",
    "\n",
    "\n",
    "$CCX = \\begin{pmatrix}\n",
    "1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\\n",
    "0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n",
    "\\end{pmatrix}$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "ccx_gate = QuantumCircuit(3)\n",
    "ccx_gate.ccx(0,1,2)\n",
    "ccx_gate.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 양자 게이트로 고전 논리 게이트를 구현해 봅시다\n",
    "\n",
    "### NOT 게이트\n",
    "\n",
    "\n",
    "NOT 게이트는 비트의 값을 반전시키며, 앞서 설명한 바와 같이, X 게이트가 NOT 게이트와 같은 동작을 합니다. NOT 게이트의 진리표는 다음과 같습니다:\n",
    "\n",
    "| 입력 | 출력 |\n",
    "| --- | --- | \n",
    "| 1 | 0 |\n",
    "| 0 | 1 |"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "not_gate=QuantumCircuit(1,1) # Create a quantum circuit with 1 qubit and 1 classical bit\n",
    "not_gate.x(0)\n",
    "not_gate.measure(0,0)\n",
    "not_gate.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### AND 게이트\n",
    "\n",
    "AND 게이트의 출력은 두 입력이 모두 1인 경우에만 True(1)입니다. AND 게이트의 진리표는 다음과 같습니다:\n",
    "\n",
    "| A (입력) | B (입력) | 출력 |\n",
    "| --- | --- | --- |\n",
    "| 0 | 0 | 0 | \n",
    "| 0 | 1 | 0 |\n",
    "| 1 | 0 | 0 |\n",
    "| 1 | 1 | 1 |\n",
    "\n",
    "\n",
    "토폴리 게이트의 두 제어 비트를 입력으로, 대상 비트를 출력 비트로 사용해 AND 게이트를 구현할 수 있습니다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "and_gate=QuantumCircuit(3,1) # 3개의 큐비트와 1개의 고전 비트로 양자 회로 생성\n",
    "and_gate.ccx(0,1,2)\n",
    "and_gate.measure(2,0)\n",
    "and_gate.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### OR 게이트\n",
    "\n",
    "OR 게이트는 최소한 둘 중 하나의 입력이 1인 경우 True(1) 입니다. \n",
    "OR 게이트의 진리표는 다음과 같습니다. \n",
    "\n",
    "| A (입력) | B (입력) | 출력 |\n",
    "| --- | --- | --- |\n",
    "| 0 | 0 | 0 | \n",
    "| 0 | 1 | 1 |\n",
    "| 1 | 0 | 1 |\n",
    "| 1 | 1 | 1 |"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "scrolled": true
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "or_gate=QuantumCircuit(3,1) # Create a quantum circuit with 3 qubits and 1 classical bit\n",
    "or_gate.cx(1,2)\n",
    "or_gate.cx(0,2)\n",
    "or_gate.ccx(0,1,2)\n",
    "or_gate.measure(2,0)\n",
    "or_gate.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Circuit Composer 위젯을 사용해 봅시다\n",
    "\n",
    "\n",
    "그래픽 인터페이스를 사용해 양자 회로를 제작할 수 있는 IBM Quantum Circuit Composer를 사용해 보셨나요. 여기에서는 쥬피터 노트북 안에서 같은 기능을 사용할 수 있게 해주는 Circuit Composer 위젯을 알아 보도록 하겠습니다. 위젯의 더 많은 사용법은  [여기](https://quantum-computing.ibm.com/lab/docs/iql/composer-widget)에서 확인하실 수 있습니다.\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert alert-block alert-success\">\n",
    "\n",
    "**연습 1a:** Circuit Composer를 사용해 NOR(부정 OR) 게이트를 구현해 봅시다.\n",
    "    \n",
    "이 연습문제는 여러분이 Composer에 익숙해 지도록 돕기위해 준비되었기 때문에 평가되지 않습니다. 원하신다면 풀지 않으셔도 좋습니다. 아래의 셀을 실행하여Composer를 표시한 후 원하는 게이트들을 원하는 자리에 추가해 보십시오.\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "from ibm_quantum_widgets import CircuitComposer\n",
    "editor = CircuitComposer()\n",
    "editor"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Circuit Composer 위젯으로 이미 제작해 둔 회로에 작업하기\n",
    "\n",
    "Circuit Composer로 이미 만들어 둔 회로에 작업을 할 수 있습니다. 아래의 코드는 위에서 만들어둔 OR 게이트 회로를 Circuit Composer에서 불러올 것입니다. OR 게이트가 잘 만들어 졌는지 Circuit Composer에서 확인해 보세요.\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert alert-block alert-success\">\n",
    "\n",
    "열린 회로를 드래그 앤 드롭으로 편집할 수 있습니다. 마지막에 있는 측정을 삭제해 보세요.\n",
    "    \n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "scrolled": true
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "from ibm_quantum_widgets import CircuitComposer\n",
    "editor2 = CircuitComposer(circuit=or_gate)\n",
    "editor2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "아래에 있는 예재는 Composer에 최종적으로 남아있는 회로를 qc2라는 이름으로 저장하고 출력에 X 게이트를 적용하고 다시 측정합니다.\n",
    "\n",
    "마지막 에디터의 회로를 불러와서 X를 적용하고 측정을 적용해 봅시다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "slide"
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "qc2 = editor2.circuit\n",
    "\n",
    "qc2.x(2)\n",
    "qc2.measure((2), (0))\n",
    "\n",
    "qc2.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "방금 만든 회로는 첫번째 연습문제에서 작성해 보았던 부정 OR인 NOR과 같습니다.\n",
    "\n",
    "## 복합 양자 게이트 및 비용\n",
    "\n",
    "\n",
    "실제 양자 컴퓨터는 모든 게이트를 물리적으로 구현해 사용하지 않습니다. 대신 고전 계산에서와 같이 가능한 모든 가능한 기능을 구현해 낼 수 있는 범용 게이트 집합을 만들어 낼 수 있는 작은 기본 게이트 집합을 사용합니다.\n",
    "\n",
    "\n",
    "따라서 작성된 양자 회로는 실행 전에 기본 게이트로 변환됩니다. 일반적으로 양자 회로가 IBM Quantum 시스템으로 전송 될 때 Qiskit 트랜스 파일러에 의해 자동으로 수행됩니다. 그러나 학습을 위해 기본 게이트를 사용하여 손으로 회로를 구성해 봅시다. IBM Quantum 시스템의 기본 게이트는 일반적으로 CX, ID, RZ, SX 및 X 게이트입니다. 다음의 백엔드 [`ibmq_mumbai` system](https://quantum-computing.ibm.com/services?skip=0&systems=all&system=ibmq_mumbai)을 예로 살펴 보시기 바랍니다.\n",
    "\n",
    "이제 아래의 회로를 살펴봅시다: "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "qc = QuantumCircuit(2)\n",
    "qc.sxdg(0)\n",
    "qc.t(1)\n",
    "qc.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "기본 게이트들을 사용해 위의 회로가 어떻게 분해되었는지 봅시다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "qc = QuantumCircuit(2)\n",
    "qc.sx(0)\n",
    "qc.sx(0)\n",
    "qc.sx(0)\n",
    "qc.rz(pi/4,1)\n",
    "qc.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "보시다시피 기본 게이트만으로 작성된 회로에는 더 많은 숫자의 게이트들이 사용됩니다. 회로에 게이트가 많을 수록 계산은 더 복잡해집니다. 따라서 사용된 게이트의 종류와 숫자를 사용해 회로의 비용을 계산합니다. 모든 게이트들이 같은 비용을 갖는 것은 아니기 때문에 아래의 공식을 사용하여 회로의 비용을 계산합니다.\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "Cost = 10 N_{CNOT} + N_{other}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "여기에서 $N_{CNOT}$은 사용된 CNOT 게이트의 개수이고 $N_{other}$은 그 외의 게이트의 개수입니다.\n",
    "\n",
    "### 하다마드 게이트\n",
    "\n",
    "계속해서 설명한 것처럼, 모든 작업은 기본 게이트를 사용하여 표현할 수 있습니다. 이곳에서는 기본 게이트 세트를 사용하여 하다마드 게이트를 구성해 보도록 하겠습니다. X 축과 Z 축의 중간에있는 축을 중심으로 회전시키는 단일 기본 게이트는 없으므로 대신 X 축 회전과 Z 축 회전을 적절히 사용하여 동일한 결과를 얻어 보도록 합시다.\n",
    "어떤 회전들이 필요할까요?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "q=QuantumRegister(1)\n",
    "c=ClassicalRegister(1)\n",
    "qc=QuantumCircuit(q,c)\n",
    "qc.rz(pi/2, 0)\n",
    "qc.sx(0)\n",
    "qc.rz(pi/2, 0)\n",
    "qc.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "여러분이 기억하는 것처럼, 위의 회로 가장 앞에 있는 RZ 게이트는 $|0\\rangle$ 또는 $|1\\rangle$의 상태에는 눈에 띄는 동작을 하지 않기 때문에 필요 없다고 생각하기 쉽습니다. 하지만 이 회로가 $|+\\rangle$ 또는 $|-\\rangle$ 상태에 적용된다면 앞에 있는 RZ 게이트가 눈에 띄는 동작을 합니다. 대신 이 경우 SX 게이트까지 적용 후에 $|0\\rangle$ 또는 $|1\\rangle$의 상태가 되기 때문에 뒤에 있는 RZ 게이트가 아무 영향이 없게 됩니다. \n",
    "\n",
    "### 제어 회전\n",
    "\n",
    "우리는 앞서 제어 반전(Controlled NOT)을 살펴 보았습니다. 여기에서는 Y 축을 중심으로 한 제어 회전을 만드는 방법을 살펴보겠습니다. 회전 값 $\\theta$는 어떤 값도 될 수 있고 꼭 $\\pi$ 값만 갖도록 할 필요는 없으며 아래의 방법은 이 기능을 구현하는 방법 중 한가지 예시입니다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "qc = QuantumCircuit(2)\n",
    "theta = pi # Theta can be anything (pi chosen arbitrarily)\n",
    "qc.ry(theta/2,1)\n",
    "qc.cx(0,1)\n",
    "qc.ry(-theta/2,1)\n",
    "qc.cx(0,1)\n",
    "qc.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "이 회로에서, 첫번째 큐비트가 0이라면 두 번의 회전은 서로를 상쇄시키기 때문에 아무런 변화도 일어나지 않습니다.\n",
    "\n",
    "하지만 반대로, 첫번째 큐비트가 1이라면, $\\theta / 2$의 두 배 만큼 회전한 것과 같은 결과를 만들어내 우리가 목표로 한 $\\theta$ 만큼의 회전을 얻게 됩니다. X축과 Y축이 수직이기 때문에 이런 동작을 얻을 수 있습니다.\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert alert-block alert-danger\">\n",
    "다른 축으로의 회전을 얻고자 할때는 다른 트릭을 사용해야 할지도 모릅니다.\n",
    "</div>\n",
    "\n",
    "### 제어 제어 회전 (Controlled Controlled Rotation)\n",
    "\n",
    "위에서 우리는 $Y$ 축에 대한 제어 회전을 구현하는 법을 살펴 보았습니다.\n",
    "원하는 축에 대한 제어 회전을 구현하는 법을 알았으니 이제 CCX 게이트와 유사하게 제어 큐비트 두 개가 모두 1일때 회전을 얻는, 이중 제어 회전을 구현해 봅시다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "qc = QuantumCircuit(3)\n",
    "theta = pi # Theta는 어떤 값도 허용 됨 (pi는 임의로 선택함)\n",
    "qc.cp(theta/2,1,2)\n",
    "qc.cx(0,1)\n",
    "qc.cp(-theta/2,1,2)\n",
    "qc.cx(0,1)\n",
    "qc.cp(theta/2,0,2)\n",
    "qc.draw()"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "이 회로에서는 첫 번째와 두 번째 큐비트가 모두 0이면 아무 일도 일어나지 않습니다. 두 번째 큐비트 만 1인 경우에는, 먼저 $\\pi/2$로 회전을 적용하고 이후 $-\\pi/2$로 회전하여 회전이 서로 상쇄됩니다. 첫 번째 큐비트만 1이라면 첫 번째 CX 이후의 두 번째 큐비트도 1이 되므로 $-\\pi/2$의 회전이 적용되고 그 후에 $\\pi/2$의 회전이 적용되어 이 두 회전이 다시 서로 상쇄시킵니다.\n",
    "\n",
    "\n",
    "첫 번째와 두 번째 큐비트가 모두 1이면 먼저 $\\pi/2$만큼 회전하고 두 번째 큐비트가 0이 되어 다음 회전이 출력에 적용되지 않고 두번째 큐비트는 CX 게이트로 인해 원래 대로 1의 값을 갖게 됩니다. 그 다음 첫 번째 큐비트가 1이기 때문에 출력에 $\\pi/2$의 회전이 적용됩니다. 결과적으로 $\\pi/2$가 두번 적용되어, $\\pi$의 회전을 얻게 됩니다.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 도전 과제\n",
    "\n",
    "<div id='problem'></div>\n",
    "<div class=\"alert alert-block alert-success\">\n",
    "\n",
    "We have seen above how to construct a Hadamard gate with our base set, and now we want to build a Toffoli gate as well. Why the Toffoli gate? As mentioned above, the Toffoli gate is also a universal gate for classical computation the same way the NAND gate is, but it is reversible. Further  it builds a simple universal gate set for quantum computation if combined with the Hadamard gate. \n",
    "\n",
    "We have seen some examples on how to express more complex gates using basis gates, we now want to use the knowledge gained to construct a Toffoli gate only using our basis gates. In order to do solve this exercise the above examples on how to construct and use controlled rotations, will come in handy. The biggest challenge is to construct the needed controlled rotations.\n",
    "    \n",
    "You can use the code below using the composer widget to construct your circuit.\n",
    "    \n",
    "    \n",
    "위에서 기본 세트로 하다마드 게이트를 만드는 방법을 살펴 보았고, 이제 Toffoli 게이트를 만들어 보고자 합니다. 왜 하필 Toffoli 게이트일까요? 위에서 언급했듯이 Toffoli 게이트는 NAND 게이트와 같은 동작을 하는 고전적인 계산을 위한 범용 게이트이면서 동시에 가역적입니다. 또한 하다마드 게이트와 결합하여 양자 계산을 위한 간단한 범용 게이트 세트를 만들어 냅니다.\n",
    "\n",
    "앞서 우리는 기본 게이트를 사용하여 더 복잡한 게이트를 만들어 내는 방법들을 살펴보았고 이제 쌓은 지식을 사용하여 기본 게이트 만을 사용해 Toffoli 게이트를 구성해 보고자 합니다. 제어 회전을 구성해본 위의 예제가 도움이 될 것입니다. 이 도전 과제에서 가장 중요한 부분이 바로 필요한 제어 회전을 구성하는 것이기 때문입니다\n",
    "\n",
    "아래에 았는 Composer 위젯을 사용하는 방식으로도 도전에 참가할 수 있습니다.\n",
    "    \n",
    "</div>\n",
    "\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert alert-block alert-danger\">\n",
    "\n",
    "IBM Quantum 시스템의 기본 게이트들은 CX, RZ, SX, X 게이트 인것을 유념하시기 바랍니다. 그 외의 게이트들을 도전 과제에 사용할 수 없습니다.\n",
    "\n",
    "비용을 최소화하는 것에도 도전해 보세요.\n",
    "    \n",
    "$$\n",
    "Cost = 10 N_{CNOT} + N_{other}\n",
    "$$\n",
    "    \n",
    "</div>\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "from qiskit import QuantumRegister, ClassicalRegister, QuantumCircuit\n",
    "from qiskit import IBMQ, Aer, execute\n",
    "from ibm_quantum_widgets import CircuitComposer\n",
    "editorEx = CircuitComposer() \n",
    "editorEx\n",
    "##### 여러분의 회로를 Circuit Composer 위젯을 사용해 구현해 보세요"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Qiskit code Qiskit 코드를 사용해 회로를 작성할 수 도 있습니다.\n",
    "\n",
    "circuit = QuantumCircuit(3)\n",
    "\n",
    "# 이 사이에 코드를 작성하세요 - 시작\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "# 이 사이에 코드를 작성하세요 - 종료"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# qasm_simulator로 회로를 실행 시키세요\n",
    "qc = editorEx.circuit \n",
    "#qc = circuit # Qiskit 코드로 작성한 회로를 제출하려면 이 라인의 코멘트를 해제하세요\n",
    "\n",
    "qc.draw(output='mpl')"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# 다음 코드를 사용해 결과를 체크해보세요\n",
    "from qc_grader import grade_ex1\n",
    "grade_ex1(qc)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# 정답을 제출합니다. 언제든 다시 제출할 수 있습니다\n",
    "from qc_grader import submit_ex1\n",
    "submit_ex1(qc)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 추가 정보\n",
    "\n",
    "**출제자:** Marcel Pfaffhauser, Brahmani Thota, Junye Huang\n",
    "\n",
    "**번역:** 신소영, Qiskit Slack @Sophy\n",
    "\n",
    "**버젼:** 1.0.0"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.7.6"
  },
  "widgets": {
   "application/vnd.jupyter.widget-state+json": {
    "state": {
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      "model_module": "@quantum/ibm-q-lab-widgets",
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       "_model_module_version": "^1.0.3",
       "_view_module_version": "^1.0.3",
       "circuit": "\"OPENQASM 2.0;\\ninclude \\\"qelib1.inc\\\";\\n\\nqreg q[1];\\n\\nrz(pi/2) q[0];\\nsx q[0];\\nrz(pi/2) q[0];\"",
       "editable": true,
       "layout": "IPY_MODEL_b645d55afc6649dd807e38ab30da764b",
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